化学工学用語集 伝熱

熱交換器の能力【総括伝熱係数】を解説:導出方法や参考値も記載

2020年10月9日

概要

交換熱量を求めるにあたって使用される伝熱係数のことを総括伝熱係数Uといいます。

$$Q=UAΔT$$

交換熱量を求める式は上式になります。
Q:交換熱量[W]、U:総括伝熱係数[W/(m2K)]、
A:伝熱面積[m2]、ΔT:温度差[K]

総括伝熱係数は流体の流速や材質等に依存するパラメータで、以下の式で求められます。

$$U=\frac{1}{\frac{1}{h_{o}}+r_{o}+\frac{x_{l}}{k}+r_{i}+\frac{1}{h_{i}}}$$

ho:外側の境膜伝熱係数[W/(m2K)]、ro:外壁側の汚れ係数[m2K/W]
xl:材質厚み[m]、k:伝熱管の熱伝導度[W/mK]
ri:内壁側の汚れ係数[m2K/W]、hi:内壁側の境膜伝熱係数[W/(m2K)]

総括伝熱係数の導出

総括伝熱係数の導出は化学工学系の学部の試験等で出ることもありますし、実務でもよく使う式なので覚えておいて損はありません。

上図のような伝熱管周りの伝熱について考えます。

例として外側に高温流体、内側に低温流体が流れているとし、伝熱管表面には汚れが付着し薄い層を形成しているとします。

このときの高温流体から低温流体への伝熱を順を追って考えていきます。

ちなみに伝熱管の長さ方向について厳密に考えなくてよいように、伝熱管の微小長さdxの区間について考えます。

まず高温流体から汚れの層表面への伝熱を考えます。
対流伝熱のニュートンの冷却法則が成り立つので、

$$dQ=h_{o}πD_{o}dx(T_{h}-t_{wo})$$

dQ:微小区間の交換熱量[W]、ho:外側の境膜伝熱係数[W/(m2K)]、Do:伝熱管外径[m]
Th:高温流体のバルク温度[K]、two:伝熱管外表面に付着している汚れの表面温度[K]

となります。πDodxは伝熱面積を表わします。

次に伝熱管外表面の汚れ層について考えます。

汚れ層では汚れ係数rの逆数を伝熱係数として、伝熱管外表面までの伝熱は

$$dQ=\frac{1}{r_{o}}πD_{o}dx(t_{wo}-t_{1})$$

ro:伝熱管外表面の汚れ係数[m2K/W]、t1:伝熱管の外表面温度[K]

となります。
汚れ層の厚みは非常に薄いので汚れ層の径は伝熱管外径Doとみなします。

次に伝熱管外表面から内表面までの伝熱について考えます。

伝熱管内部は伝導伝熱のフーリエの法則が成り立つので、

$$dQ=\frac{k}{x_{l}}πD_{m}dx(t_{1}-t_{2})$$

k:伝熱管の熱伝導度[W/mK]、xl:伝熱管厚み[m]
Dm:伝熱管平均径[m]、t2:伝熱管の内表面温度[K]

となります。
伝熱管平均径Dmは次の式で計算できます。

$$D_{m}=\frac{D_{o}-D_{i}}{ln(D_{o}/D_{i})}$$

次に伝熱管内表面の汚れ層について考えます。

外表面と同様に考えてよいので、

$$dQ=\frac{1}{r_{i}}πD_{i}dx(t_{2}-t_{wi})$$

ri:伝熱管内表面の汚れ係数[m2K/W]、Di:伝熱管内径[m]
t2:伝熱管の内表面温度[K]、twi:伝熱管内表面に付着している汚れの表面温度[K]

となります。
同様に汚れ層の厚みは薄いので汚れ層の径は伝熱管内径Diとみなします。

最後に汚れの層表面から低温流体への伝熱を考えます。

同様に対流伝熱のニュートンの冷却法則が成り立つので、

$$dQ=h_{i}πD_{i}dx(t_{wi}-T_{c})$$

hi:内側の境膜伝熱係数[W/(m2K)]、Tc:低温流体のバルク温度[K]

となります。

ポイントとしては各区間の交換熱量は定常状態であればすべてdQで一定であるということです。

次に上の5つの式を右辺が温度差の項のみになるよう式変形します。

$$\frac{dQ}{h_{i}πD_{o}dx}=T_{h}-t_{wo}$$
$$\frac{dQ}{\frac{1}{r_{o}}πD_{o}dx}=t_{wo}-t_{1}$$
$$\frac{dQ}{\frac{k}{x_{l}}πD_{m}dx}=t_{1}-t_{2}$$
$$\frac{dQ}{\frac{1}{r_{i}}πD_{i}dx}=t_{2}-t_{wi}$$
$$\frac{dQ}{h_{i}πD_{i}dx}=t_{wi}-T_{c}$$

このように式変形し、5つの式を辺々足し合わせます。

すると右辺はきれいにtwo、t1、t2、twiが消えますね。

$$dQ\frac{1}{h_{o}πD_{o}dx+\frac{1}{r_{o}}πD_{o}dx+\frac{k}{x_{l}}πD_{m}dx+\frac{1}{r_{i}}πD_{i}dx+h_{i}πD_{i}dx}=T_{h}-T_{c}$$

ここで伝熱管の外径基準でまとめるか、内径基準でまとめるか2通りの方法があります。
どちらでもかまいませんが、ここでは外径基準でまとめます。

伝熱管外表面の面積をAoとすると

$$dA_{o}=πD_{o}dx$$

と表せます。
伝熱式の左辺をπDodxでくくると

$$\frac{dQ}{πD_{o}dx}[\frac{1}{h_{o}}+r_{o}+\frac{x_{l}}{k}(\frac{D_{o}}{D_{m}})+r_{i}(\frac{D_{o}}{D_{i}})+\frac{1}{h_{i}}(\frac{D_{o}}{D_{i}})]=T_{h}-T_{c}$$

$$\frac{dQ}{dA_{o}}[\frac{1}{h_{o}}+r_{o}+\frac{x_{l}}{k}(\frac{D_{o}}{D_{m}})+r_{i}(\frac{D_{o}}{D_{i}})+\frac{1}{h_{i}}(\frac{D_{o}}{D_{i}})]=T_{h}-T_{c}$$

ここで[ ]内の項を右辺に移項し、外径基準の総括伝熱係数Uoとおきます。

$$U_{o}=\frac{1}{\frac{1}{h_{o}}+r_{o}+\frac{x_{l}}{k}(\frac{D_{o}}{D_{m}})+r_{i}(\frac{D_{o}}{D_{i}})+\frac{1}{h_{i}}(\frac{D_{o}}{D_{i}})}$$

整理すると

$$dQ=U_{o}dA(T_{h}-T_{c})$$

$$Q=U_{o}AΔT$$

となります。
内径基準の総括伝熱係数Ui

$$dA_{i}=πD_{i}dx$$

とおけば同様に整理できます。

また、伝熱管の厚みが薄く外径と内径がほぼ同じ厚みとみなせる場合はDo≒Di≒Dmとして式を簡略化することがあります。

$$U=\frac{1}{\frac{1}{h_{o}}+r_{o}+\frac{x_{l}}{k}+r_{i}+\frac{1}{h_{i}}}$$

総括伝熱係数の参考値

総括伝熱係数は熱交換器の設計では重要な指標で、扱う流体によって経験的にどのくらいの値となるか知られています。

高温流体低温流体総括伝熱係数U [W/(m2K)]

メタノール
アンモニア
水溶液
1400~2900
有機物質 粘度0.5cp以下400~900
有機物質 粘度0.5~1.0cp300~700
有機物質 粘度1.0cp以上30~450
気体10~300
ブライン600~1150
有機物質 粘度0.5cp以下ブライン250~600
水蒸気
メタノール
アンモニア
水溶液 粘度2.0cp以下
1150~4050
水蒸気水溶液 粘度2.0cp以上600~2900
水蒸気有機物質 粘度0.5cp以下600~1150
水蒸気有機物質 粘度0.5~1.0cp300~600
水蒸気有機物質 粘度1.0cp以上35~350
水蒸気気体30~300
有機物質 粘度0.5cp以下有機物質 粘度0.5cp以下250~450
有機物質 粘度0.5~1.0cp有機物質 粘度0.5~1.0cp100~350
有機物質 粘度1.0cp以上有機物質 粘度1.0cp以上50~250
有機物質 粘度1.0cp以上有機物質 粘度0.5cp以下150~350
有機物質 粘度0.5cp以下有機物質 粘度1.0cp以上50~250
"熱交換器設計ハンドブック"を参照


上表に代表的な流体の組み合わせにおける総括伝熱係数を示します。

目安としてのU値を知っておけば、自分で計算した値が間違っていないか大まかに確認することができます。
単位の変換ミス等で桁1つ2つずれることがたまにありますのでそのようなときに役立ちます。

ただし標準的な設計仕様から外れている場合はあてにならないこともあります。

境膜伝熱係数について

境膜伝熱係数hi、hoについては上の総括伝熱係数の導出でも述べましたが、対流伝熱を計算する際に使用される係数です。

一方で実測するのが難しいため相関式を使用して算出することが多いです。

以下に境膜伝熱係数に関する記事を載せています。

熱交換器の境膜伝熱係数

熱交換器の境膜伝熱係数についての記事です。



熱交換器【シェル側境膜伝熱係数】を解説:各計算式を比較

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攪拌槽の境膜伝熱係数

撹拌槽の境膜伝熱係数についての記事です。



【撹拌槽伝熱】総括伝熱係数U・伝熱面積A・温度差ΔTそれぞれの改善手法を徹底解説

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汚れ係数について

汚れ係数rも同様に総括伝熱係数の導出に使用される値です。
以下に汚れ係数に関する記事を載せています。

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