熱交換器の能力【総括伝熱係数】を解説：導出方法や参考値も記載

概要

交換熱量を求めるにあたって使用される伝熱係数のことを総括伝熱係数Uといいます。

$$Q=UAΔT$$

交換熱量を求める式は上式になります。

Q：交換熱量[W]、U：総括伝熱係数[W/(m²K)]、
A：伝熱面積[m²]、ΔT：温度差[K]

総括伝熱係数は流体の流速や材質等に依存するパラメータで、以下の式で求められます。

$$U=\frac{1}{\frac{1}{h_{o}}+r_{o}+\frac{x_{l}}{k}+r_{i}+\frac{1}{h_{i}}}$$

h_o：外側の境膜伝熱係数[W/(m²K)]、r_o：外壁側の汚れ係数[m²K/W]
x_l：材質厚み[m]、k：伝熱管の熱伝導度[W/mK]
r_i：内壁側の汚れ係数[m²K/W]、h_i：内壁側の境膜伝熱係数[W/(m²K)]

総括伝熱係数の導出

総括伝熱係数の導出は化学工学系の学部の試験等で出ることもありますし、実務でもよく使う式なので覚えておいて損はありません。

上図のような伝熱管周りの伝熱について考えます。

例として外側に高温流体、内側に低温流体が流れているとし、伝熱管表面には汚れが付着し薄い層を形成しているとします。

このときの高温流体から低温流体への伝熱を順を追って考えていきます。

ちなみに伝熱管の長さ方向について厳密に考えなくてよいように、伝熱管の微小長さdxの区間について考えます。

まず高温流体から汚れの層表面への伝熱を考えます。
対流伝熱のニュートンの冷却法則が成り立つので、

$$dQ=h_{o}πD_{o}dx(T_{h}-t_{wo})$$

dQ：微小区間の交換熱量[W]、h_o：外側の境膜伝熱係数[W/(m²K)]、D_o：伝熱管外径[m]
T_h：高温流体のバルク温度[K]、t_wo：伝熱管外表面に付着している汚れの表面温度[K]

となります。πD_odxは伝熱面積を表わします。

次に伝熱管外表面の汚れ層について考えます。

汚れ層では汚れ係数rの逆数を伝熱係数として、伝熱管外表面までの伝熱は

$$dQ=\frac{1}{r_{o}}πD_{o}dx(t_{wo}-t_{1})$$

r_o：伝熱管外表面の汚れ係数[m²K/W]、t₁：伝熱管の外表面温度[K]

となります。
汚れ層の厚みは非常に薄いので汚れ層の径は伝熱管外径D_oとみなします。

次に伝熱管外表面から内表面までの伝熱について考えます。

伝熱管内部は伝導伝熱のフーリエの法則が成り立つので、

$$dQ=\frac{k}{x_{l}}πD_{m}dx(t_{1}-t_{2})$$

k：伝熱管の熱伝導度[W/mK]、x_l：伝熱管厚み[m]
D_m：伝熱管平均径[m]、t₂：伝熱管の内表面温度[K]

となります。
伝熱管平均径D_mは次の式で計算できます。

$$D_{m}=\frac{D_{o}-D_{i}}{{\rm{ln}}(D_{o}/D_{i})}$$

次に伝熱管内表面の汚れ層について考えます。

外表面と同様に考えてよいので、

$$dQ=\frac{1}{r_{i}}πD_{i}dx(t_{2}-t_{wi})$$

r_i：伝熱管内表面の汚れ係数[m²K/W]、D_i：伝熱管内径[m]
t₂：伝熱管の内表面温度[K]、t_wi：伝熱管内表面に付着している汚れの表面温度[K]

となります。
同様に汚れ層の厚みは薄いので汚れ層の径は伝熱管内径D_iとみなします。

最後に汚れの層表面から低温流体への伝熱を考えます。

同様に対流伝熱のニュートンの冷却法則が成り立つので、

$$dQ=h_{i}πD_{i}dx(t_{wi}-T_{c})$$

h_i：内側の境膜伝熱係数[W/(m²K)]、T_c：低温流体のバルク温度[K]

となります。

ポイントとしては各区間の交換熱量は定常状態であればすべてdQで一定であるということです。

次に上の5つの式を右辺が温度差の項のみになるよう式変形します。

$$\frac{dQ}{h_{i}πD_{o}dx}=T_{h}-t_{wo}$$
$$\frac{dQ}{\frac{1}{r_{o}}πD_{o}dx}=t_{wo}-t_{1}$$
$$\frac{dQ}{\frac{k}{x_{l}}πD_{m}dx}=t_{1}-t_{2}$$
$$\frac{dQ}{\frac{1}{r_{i}}πD_{i}dx}=t_{2}-t_{wi}$$
$$\frac{dQ}{h_{i}πD_{i}dx}=t_{wi}-T_{c}$$

このように式変形し、5つの式を辺々足し合わせます。

すると右辺はきれいにt_wo、t₁、t₂、t_wiが消えますね。

$$dQ\frac{1}{h_{o}πD_{o}dx+\frac{1}{r_{o}}πD_{o}dx+\frac{k}{x_{l}}πD_{m}dx+\frac{1}{r_{i}}πD_{i}dx+h_{i}πD_{i}dx}=T_{h}-T_{c}$$

ここで伝熱管の外径基準でまとめるか、内径基準でまとめるか2通りの方法があります。
どちらでもかまいませんが、ここでは外径基準でまとめます。

伝熱管外表面の面積をA_oとすると

$$dA_{o}=πD_{o}dx$$

と表せます。
伝熱式の左辺をπD_odxでくくると

$$\frac{dQ}{πD_{o}dx}[\frac{1}{h_{o}}+r_{o}+\frac{x_{l}}{k}(\frac{D_{o}}{D_{m}})+r_{i}(\frac{D_{o}}{D_{i}})+\frac{1}{h_{i}}(\frac{D_{o}}{D_{i}})]=T_{h}-T_{c}$$

$$\frac{dQ}{dA_{o}}[\frac{1}{h_{o}}+r_{o}+\frac{x_{l}}{k}(\frac{D_{o}}{D_{m}})+r_{i}(\frac{D_{o}}{D_{i}})+\frac{1}{h_{i}}(\frac{D_{o}}{D_{i}})]=T_{h}-T_{c}$$

ここで[　]内の項を右辺に移項し、外径基準の総括伝熱係数U_oとおきます。

$$U_{o}=\frac{1}{\frac{1}{h_{o}}+r_{o}+\frac{x_{l}}{k}(\frac{D_{o}}{D_{m}})+r_{i}(\frac{D_{o}}{D_{i}})+\frac{1}{h_{i}}(\frac{D_{o}}{D_{i}})}$$

整理すると

$$dQ=U_{o}dA(T_{h}-T_{c})$$

$$Q=U_{o}AΔT$$

となります。
内径基準の総括伝熱係数U_iも

$$dA_{i}=πD_{i}dx$$

とおけば同様に整理できます。

また、伝熱管の厚みが薄く外径と内径がほぼ同じ厚みとみなせる場合はD_o≒D_i≒D_mとして式を簡略化することがあります。

$$U=\frac{1}{\frac{1}{h_{o}}+r_{o}+\frac{x_{l}}{k}+r_{i}+\frac{1}{h_{i}}}$$

総括伝熱係数の参考値

総括伝熱係数は熱交換器の設計では重要な指標で、扱う流体によって経験的にどのくらいの値となるか知られています。

高温流体	低温流体	総括伝熱係数U [W/(m²K)]
水メタノールアンモニア水溶液	水	1400～2900
有機物質　粘度0.5cp以下	水	400～900
有機物質　粘度0.5～1.0cp	水	300～700
有機物質　粘度1.0cp以上	水	30～450
気体	水	10～300
水	ブライン	600～1150
有機物質　粘度0.5cp以下	ブライン	250～600
水蒸気	水メタノールアンモニア水溶液　粘度2.0cp以下	1150～4050
水蒸気	水溶液　粘度2.0cp以上	600～2900
水蒸気	有機物質　粘度0.5cp以下	600～1150
水蒸気	有機物質　粘度0.5～1.0cp	300～600
水蒸気	有機物質　粘度1.0cp以上	35～350
水蒸気	気体	30～300
有機物質　粘度0.5cp以下	有機物質　粘度0.5cp以下	250～450
有機物質　粘度0.5～1.0cp	有機物質　粘度0.5～1.0cp	100～350
有機物質　粘度1.0cp以上	有機物質　粘度1.0cp以上	50～250
有機物質　粘度1.0cp以上	有機物質　粘度0.5cp以下	150～350
有機物質　粘度0.5cp以下	有機物質　粘度1.0cp以上	50～250

"熱交換器設計ハンドブック"を参照

上表に代表的な流体の組み合わせにおける総括伝熱係数を示します。

目安としてのU値を知っておけば、自分で計算した値が間違っていないか大まかに確認することができます。
単位の変換ミス等で桁1つ2つずれることがたまにありますのでそのようなときに役立ちます。

ただし標準的な設計仕様から外れている場合はあてにならないこともあります。